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西北师范大学2021自命题考研大纲:泛函分析

距2021年考研倒计时

西北师范大学2021自命题考研大纲:泛函分析

  泛函分析 考纲

  第一章 衡量空间与线性赋范空间

  考题关键点:

  衡量空间的定义,事例;衡量空间中的收敛与持续性;稠密性;可分性;Cauchy列与衡量空间的完备性;缩小印象基本原理以及运用;线性赋范空间的定义,事例;Banach空间的定义。

  考试试题:

  第一节 衡量空间的定义与事例

  间距及衡量空间的界定;事例(欧氏空间 ;连续函数空间 ;等差数列空间 等)。

  第二节 衡量空间中的極限 稠密性 可分空间

  行业的定义;收敛性点列;有限集;实际空间中收敛的实际意义;稠密性与分为空间的定义;不能分空间的事例。

  第三节 持续投射

  映射持续性的各种各样界定以及等额的性。

  第四节 Cauchy点列与完备衡量空间

  度量空间中Cauchy点列的定义;完备衡量空间的界定;完备衡量空间与不完备度量空间的各种事例;衡量空间闭子空间的完备性。

  第五节 度量空间的完备化

  等距同构;衡量空间的完备化定理;

  第六节 缩小印象基本原理以及运用

  缩小印象的界定;缩小印象基本原理;在隐函数定理及常微分方程中的运用。

  第七节 线性空间

  这节內容为线性空间的基本要素。因学员已在高等代数课程内容初中过比较有限维空间的相关內容,故只需简略回望并注重无尽维线性空间的特点就可以。

  第八节 线性赋范空间和Banach空间

  范数,线性赋范空间和Banach空间的定义;依范数收敛性; 空间; 空间; 空间; 空间; 空间; 空间;比较有限维赋范空间的拓扑结构同构性。

  考评规定:

  把握衡量空间,线性赋范空间和Banach空间的基本概念和特性;把握投射持续性,衡量空间的完备性等定义;了解 空间, 空间, 空间, 空间, 空间, 空间;深入了解缩小印象基本原理以及简易运用。能单独解释基本上的练习题。

  第二章 线性有限算子和线性持续泛函

  考题关键点:

  线性有限算子,线性持续泛函,线性算子空间,共轭空间。

  考试试题:

  第一节 线性有限算子与线性持续泛函

  线性有限算子与线性持续泛函的定义,事例,有限与持续的等额的性,线性有限算子零空间的特性,算子范数。

  第二节 线性算子空间和共轭空间

  线性算子空间的构造以及完备性,共轭空间,保距算子,同构映衬,同构,一些实际空间的共轭空间。

  考评规定:

  把握线性有限算子,线性持续泛函,有界性,持续性,算子范数,共轭空间,保距算子,同构映衬,同构等基本要素;把握有限与持续的等额的性定理,基本上定理;可以测算简易的算子范数和一些实际空间的共轭空间。能单独解释基本上的练习题。

  第三章 内积空间和Hilbert空间

  考题关键点:

  内积空间,投射定理,Hilbert空间,就范复励系,Hilbert空间上线性持续泛函的表明。

  考试试题:

  第一节 内积空间的基本要素

  内积空间与Hilbert空间的界定,平行四边形公式计算,内积空间的判断。

  第二节 投射定理

  点至结合的间距,凸集,很小化空间向量定理,结合的正交和,Hilbert空间的正交分解,投射算子以及特性。

  第三节 Hilbert空间中的就范复励系

  就范直交系,Fourier指数集,Bessel不等式,Parseval恒等式,彻底就范复励系的理解与判断, Fourier展式,Gram-Schmidt正交化全过程,Hilbert空间的同构。

  第四节 Hilbert空间上的线性持续泛函

  Riesz表示定理,共轭算子以及特性。

  第五节 自伴算子、 酉算子和一切正常算子

  自伴算子、 酉算子和正常算子的基本要素与简易特性。

  考评规定:

  把握内积空间,Hilbert空间,平行四边形公式计算,就范复励系,Bessel不等式,Parseval恒等式,Fourier展式,投射算子,共轭算子,自伴算子,酉算子和一切正常算子等基本要素;把握很小化空间向量定理,投射定理,彻底就范复励系的判断定理, Riesz表示定理等基本上定理的具体内容与证实;能单独解释基本上的练习题。

  第四章 Banach空间中的基本上定理

  考题关键点:

  Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,线性赋范空间中的共轭算子,

  第一节 泛函延拓定理

  次线性泛函,Hahn-Banach泛函延拓定理的实方式、复形式以及推理。

  第二节 的共轭空间、Riesz表示定理

  第三节 共轭算子

  第四节 线性赋范空间中共轭算子的界定及特性。

  第五节 纲定理和一致有界性定理

  第一纲集,第二纲集,Baire纲定理, 一致有界性定理强收敛性、弱收敛和一致收敛

  强收敛性、弱收敛、弱*收敛性和一致收敛的界定,事例,内在联系,强收敛性的充要条件。

  第六节 逆算子定理

  逆算子定理以及证实。

  第七节 闭图像定理

  线性算子的图象,闭算子,闭图像定理。

  考评规定:

  把握此章牵涉到的全部基本要素,基本上定理;因为Hahn-Banach延拓定理,Riesz表示定理,Baire纲定理,逆算子定理,闭图像定理是泛函分析基础知识的关键组成一部分,规定灵活运用这种內容;能单独解释基本上的练习题。

  第五章 线性算子的谱

  考题关键点:

  简略详细介绍线性算子的谱的定义,基本上特性。

  谱的定义

  正则表达式算子,正则点,正则表达式集,谱点,特征根,矩阵的特征值,点谱,连续谱,事例。

  第一节 线性有限算子谱的主要特性

  谱集的闭性。

  考评规定:

  掌握线性算子的谱的定义,基本上特性。

  三、参考书

  1、 程其襄等,《实变函数与泛函分析基础》,高等教育出版社, 1983, 第一版。

  2、 王威望, 郑维行,《实变函数与泛函分析概要》,第二册,高等教育出版社,1992,第二版。

  3、 夏道行等,《实变函数论与泛函分析》,下册,高等教育出版社, 1985,第二版。


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