泛函分析 考纲

　　第一章 衡量空间与线性赋范空间

　　考题关键点：

　　衡量空间的定义，事例;衡量空间中的收敛与持续性;稠密性;可分性;Cauchy列与衡量空间的完备性;缩小印象基本原理以及运用;线性赋范空间的定义，事例;Banach空间的定义。

　　考试试题：

　　第一节 衡量空间的定义与事例

　　间距及衡量空间的界定;事例(欧氏空间 ;连续函数空间 ;等差数列空间 等)。

　　第二节 衡量空间中的極限 稠密性 可分空间

　　行业的定义;收敛性点列;有限集;实际空间中收敛的实际意义;稠密性与分为空间的定义;不能分空间的事例。

　　第三节 持续投射

　　映射持续性的各种各样界定以及等额的性。

　　第四节 Cauchy点列与完备衡量空间

　　度量空间中Cauchy点列的定义;完备衡量空间的界定;完备衡量空间与不完备度量空间的各种事例;衡量空间闭子空间的完备性。

　　第五节 度量空间的完备化

　　等距同构;衡量空间的完备化定理;

　　第六节 缩小印象基本原理以及运用

　　缩小印象的界定;缩小印象基本原理;在隐函数定理及常微分方程中的运用。

　　第七节 线性空间

　　这节內容为线性空间的基本要素。因学员已在高等代数课程内容初中过比较有限维空间的相关內容，故只需简略回望并注重无尽维线性空间的特点就可以。

　　第八节 线性赋范空间和Banach空间

　　范数，线性赋范空间和Banach空间的定义;依范数收敛性; 空间; 空间; 空间; 空间; 空间; 空间;比较有限维赋范空间的拓扑结构同构性。

　　考评规定：

　　把握衡量空间，线性赋范空间和Banach空间的基本概念和特性;把握投射持续性，衡量空间的完备性等定义;了解 空间， 空间， 空间， 空间， 空间， 空间;深入了解缩小印象基本原理以及简易运用。能单独解释基本上的练习题。

　　第二章 线性有限算子和线性持续泛函

　　考题关键点：

　　线性有限算子，线性持续泛函，线性算子空间，共轭空间。

　　考试试题：

　　第一节 线性有限算子与线性持续泛函

　　线性有限算子与线性持续泛函的定义，事例，有限与持续的等额的性，线性有限算子零空间的特性，算子范数。

　　第二节 线性算子空间和共轭空间

　　线性算子空间的构造以及完备性，共轭空间，保距算子，同构映衬，同构，一些实际空间的共轭空间。

　　考评规定：

　　把握线性有限算子，线性持续泛函，有界性，持续性，算子范数，共轭空间，保距算子，同构映衬，同构等基本要素;把握有限与持续的等额的性定理，基本上定理;可以测算简易的算子范数和一些实际空间的共轭空间。能单独解释基本上的练习题。

　　第三章 内积空间和Hilbert空间

　　考题关键点：

　　内积空间，投射定理，Hilbert空间，就范复励系，Hilbert空间上线性持续泛函的表明。

　　考试试题：

　　第一节 内积空间的基本要素

　　内积空间与Hilbert空间的界定，平行四边形公式计算，内积空间的判断。

　　第二节 投射定理

　　点至结合的间距，凸集，很小化空间向量定理，结合的正交和，Hilbert空间的正交分解，投射算子以及特性。

　　第三节 Hilbert空间中的就范复励系

　　就范直交系，Fourier指数集，Bessel不等式，Parseval恒等式，彻底就范复励系的理解与判断, Fourier展式，Gram-Schmidt正交化全过程，Hilbert空间的同构。

　　第四节 Hilbert空间上的线性持续泛函

　　Riesz表示定理，共轭算子以及特性。

　　第五节 自伴算子、 酉算子和一切正常算子

　　自伴算子、 酉算子和正常算子的基本要素与简易特性。

　　考评规定：

　　把握内积空间，Hilbert空间，平行四边形公式计算，就范复励系，Bessel不等式，Parseval恒等式，Fourier展式，投射算子，共轭算子，自伴算子，酉算子和一切正常算子等基本要素;把握很小化空间向量定理，投射定理，彻底就范复励系的判断定理, Riesz表示定理等基本上定理的具体内容与证实;能单独解释基本上的练习题。

　　第四章 Banach空间中的基本上定理

　　考题关键点：

　　Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，线性赋范空间中的共轭算子，

　　第一节 泛函延拓定理

　　次线性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的实方式、复形式以及推理。

　　第二节 的共轭空间、Riesz表示定理

　　第三节 共轭算子

　　第四节 线性赋范空间中共轭算子的界定及特性。

　　第五节 纲定理和一致有界性定理

　　第一纲集，第二纲集，Baire纲定理, 一致有界性定理强收敛性、弱收敛和一致收敛

　　强收敛性、弱收敛、弱*收敛性和一致收敛的界定，事例，内在联系，强收敛性的充要条件。

　　第六节 逆算子定理

　　逆算子定理以及证实。

　　第七节 闭图像定理

　　线性算子的图象，闭算子，闭图像定理。

　　考评规定：

　　把握此章牵涉到的全部基本要素，基本上定理;因为Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire纲定理，逆算子定理，闭图像定理是泛函分析基础知识的关键组成一部分，规定灵活运用这种內容;能单独解释基本上的练习题。

　　第五章 线性算子的谱

　　考题关键点：

　　简略详细介绍线性算子的谱的定义，基本上特性。

　　谱的定义

　　正则表达式算子，正则点，正则表达式集，谱点，特征根，矩阵的特征值，点谱，连续谱，事例。

　　第一节 线性有限算子谱的主要特性

　　谱集的闭性。

　　考评规定：

　　掌握线性算子的谱的定义，基本上特性。

　　三、参考书

　　1、 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社， 1983， 第一版。

　　2、 王威望， 郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，第二册，高等教育出版社，1992，第二版。

　　3、 夏道行等，《实变函数论与泛函分析》，下册，高等教育出版社， 1985，第二版。